Professor Cardy

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O segmento `\bar{AB}` é lado de um hexágono regular de área `\sqrt{3}`. O ponto `P` pertence à mediatriz de `\bar{AB}` de tal modo que a área do triângulo `PAB` vale `\sqrt{2}`. Então, a distância de `P` ao segmento `\bar{AB}` é igual a

a) `\sqrt{2}`

b) `2\sqrt{2}`

c) `3\sqrt{2}`

d) `\sqrt{3}`

e) `2\sqrt{3}`

A área de um hexágono regular de lado `x` é 6 vezes a área de um triângulo equilátero de lado `x`. A área de um triángulo equilátero vale `\frac{x^2\sqrt{3}}{4}` (este resultado ou você deduz em separado ou você se lembra...). Este caminho de raciocínio pode ser útil se você não se recordar diretamente da área de um hexágono regular (`3*\frac{x^2\sqrt{3}}{2}`).

Ou seja: `6*\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=3*\frac{x^2\sqrt{3}}{2}`.

Como foi enunciado que essa área é `\sqrt{3}`, temos:

`3*\frac{x^2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}`

`x^2=\frac{2}{3}`

`x>0`

`x=\sqrt{\frac{2}{3}}`

`x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}`

Sendo `AB` a medida do lado do hexágono em referência, temos:

`AB=x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}`.

A mediatriz de `\bar{AB}` é o Lugar Geométrico dos pontos no plano que equidistam de `A` e `B`; a intersecão dessa mediatriz com o lado `\bar{AB}` determina o ponto `M`, médio de `\bar{AB}` e perpendicular a `\bar{AB}`.

A distância de `P` a `M` será denominado por `d` e que é a própria altura do triângulo `PAB`.

A área deste triângulo foi dada como `\sqrt{2}`. Portanto:

`\frac{\text{base}*\text{altura}}{2}=\sqrt{2}`

`\frac{AB*d}{2}=\sqrt{2}`

`\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}*d}{2}=\sqrt{2}`

`\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}*d=2\sqrt{2}`

`d=2\sqrt{3}`



E

Autoria da resolução professor Cardy Meier
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