Professor Cardy

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Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas ao lado, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A reta de equação `y = x + 4` representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto `P = (–5, 5)`, localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.

 

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto

A) (–5, 0)

B) (–3, 1)

C) (–2, 1)

D) (0, 4)

E) (2, 6)

Para que um ponto pertença à referida reta, no Plano Cartesiano, é necessário que as coordenadas do ponto satisfaçam a equação `y = x + 4`

Ponto (x, y)
`y = x + 4`
Pertinência à reta

(–5, 0)

`0 !=-5+4`
não

(–3, 1)

`1=-3+4`
sim

(–2, 1)

`1!=-2+4`
não

(0, 4)

`4=0+4`
sim

(2, 6)

`6=2+4`
sim

 

Portanto, apenas os pontos Q = (–3, 1), R = (0, 4) e S = (2, 6) pertencem à reta dada. A distância de cada um desses pontos ao ponto da posição do hospital P = (-5, 5) é calculada a seguir.

De Q = (–3, 1) a P = (-5, 5):

`d_{QP} = \sqrt{\Delta_x^2 +\Delta_y^2} = \sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}=`

`d_{QP} = \sqrt{(-3-(-5))^2 +(1-5)^2 }=\sqrt{20}`

Observando que `\sqrt{20} < 5`.

 

De R = (0, 4) a P = (-5, 5):

`d_{RP} = \sqrt{\Delta_x^2 +\Delta_y^2} = \sqrt{(x_R-x_P)^2+(y_R-y_P)^2}=`

`d_{RP} = \sqrt{(0-(-5))^2 +(4-5)^2 }=\sqrt{26}`

Observando que `\sqrt{26} > 5`.

 

De S = (2, 6) a P = (-5, 5):

`d_{RP} = \sqrt{\Delta_x^2 +\Delta_y^2} = \sqrt{(x_R-x_P)^2+(y_R-y_P)^2}=`

`d_{RP} = \sqrt{(2-(-5))^2 +(6-5)^2 }=\sqrt{50}`

Observando que `\sqrt{50} > 5`.

 

Portanto, o único ponto que atende a restrição da distância não seja maior que 5 de P = (-5,5) é Q = (–3, 1).



B

Autoria da resolução professor Cardy Meier
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