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No video (no instante 9 segundos) aparece no visor que a senha é algum número que vem depois da sequência (313, 331, 367, ...) e, de repente uma personagem (o Dr. Who) diz "three, seven nine!" 379. E explica: "They are HAPPY PRIMES!" (Eles são PRIMOS FELIZES).

A garota fica absurdada! HAPPY WHAT!? Ele explica tudo, bem por alto, o que são... mas fala tão rápido! Vamos lá então... com CALMA!

 

reprodução: Youtube

Um número natural "a" é dito "Número Feliz" se, e somente se, existe um termo unitário na seqüência {an}, onde a = a1 e an+1 é a soma dos quadrados dos algarismos (na base decimal) de an.

Bem, isso quer dizer, por exemplo, que 7 é um Número Feliz.

Veja como se chegou a conclusão do 7 ser feliz.

Montamos uma seqüência com o primeiro termo valendo 7 e buscamos a existência de um termo unitário (pela regra da soma dos quadrados dos algarimos do número anterior)

termo
valor soma dos quadrados dos algarismos
a1
7
72 = 49
a2
49
42 + 92 = 16 + 81 = 97
a3
97
92 + 72 = 130
a4
130
12 + 32 + 02 = 10
a5
10
12 + 02 = 1
a6
1
 

Cardica

Se um número X é feliz, então qualquer permutação de seus algarismos produzirá outro número Y, também feliz.

Exemplo:

130, 013, 310, 301, 103, 031

Além disso, a inserção de algarimos "0" em qualquer número feliz, ainda gera um número feliz. Este fato, isolado, já garante que existem infinitos números felizes.

Usando essa dica, é fácil saber, por exemplo, que 2008 é um número feliz, pois 28 é feliz ( a inserção dos zeros no meio é indiferente).

Assim, o número 7 é um número feliz porque foi possível determinar um termo unitário na seqüência.

Repare que na mesma seqüência (7, 49, 97, 130, 10, 1), os números entre 7 e 1 também são felizes porque usando o mesmo processo, todos são "levados" ao termo unitário, inevitavelmente.

São exemplos de Números Felizes (coloridos os que são PRIMOS FELIZES):

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496

Assim, na sequencia do Dr. Who o número procurado é 379

(313, 331, 367, 379)

Os números naturais que não são felizes não fecham uma seqüência com o termo unitário. São gerados infinitos termos (com a regra da soma dos quadrados dos algarismos e só parar no termo unitário)...

Exemplo disso é o número a = 9 (não é feliz):

 
termo
valor soma dos quadrados dos algarismos  
 
a1
9
92= 81  
 
a2
81
82 + 12 = 65  
 
a3
65
62 + 52 = 61  
 
a4
61
62 + 12 = 37  
 
a5
37
32 + 72 = 58  
 
a6
58
52 + 82 = 89  
 
a7
89
82 + 92 = 145  
 
a8
145
12 + 42 + 52 = 42  
 
a9
42
42 + 22 = 20  
 
a10
20
22 + 02 = 4  
 
a11
4
42 = 16  
 
a12
16
12 + 62 = 37  
 
a13
37
este termo já ocorreu como "a5"  

 

Verifique que um número não feliz vai conter, ciclicamente, os termos em seqüência (4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20) a partir de um determinado termo.

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