Lista Alfabética
No video (no instante 9 segundos) aparece no visor que a senha é algum número que vem depois da sequência (313, 331, 367, ...) e, de repente uma personagem (o Dr. Who) diz "three, seven nine!" 379. E explica: "They are HAPPY PRIMES!" (Eles são PRIMOS FELIZES).
A garota fica absurdada! HAPPY WHAT!? Ele explica tudo, bem por alto, o que são... mas fala tão rápido! Vamos lá então... com CALMA!
reprodução: Youtube
Um número natural "a" é dito "Número Feliz" se, e somente se, existe um termo unitário na seqüência {an}, onde a = a1 e an+1 é a soma dos quadrados dos algarismos (na base decimal) de an.
Bem, isso quer dizer, por exemplo, que 7 é um Número Feliz.
Veja como se chegou a conclusão do 7 ser feliz.
Montamos uma seqüência com o primeiro termo valendo 7 e buscamos a existência de um termo unitário (pela regra da soma dos quadrados dos algarimos do número anterior)
termo |
valor | soma dos quadrados dos algarismos |
a1
|
7 |
72 = 49 |
a2
|
49 |
42 + 92 = 16 + 81 = 97 |
a3
|
97 |
92 + 72 = 130 |
a4
|
130 |
12 + 32 + 02 = 10 |
a5
|
10 |
12 + 02 = 1 |
a6
|
1 |
|
Assim, o número 7 é um número feliz porque foi possível determinar um termo unitário na seqüência.
Repare que na mesma seqüência (7, 49, 97, 130, 10, 1), os números entre 7 e 1 também são felizes porque usando o mesmo processo, todos são "levados" ao termo unitário, inevitavelmente.
São exemplos de Números Felizes (coloridos os que são PRIMOS FELIZES):
1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496
Assim, na sequencia do Dr. Who o número procurado é 379
(313, 331, 367, 379)
Os números naturais que não são felizes não fecham uma seqüência com o termo unitário. São gerados infinitos termos (com a regra da soma dos quadrados dos algarismos e só parar no termo unitário)...
Exemplo disso é o número a = 9 (não é feliz):
termo |
valor | soma dos quadrados dos algarismos | ||
a1
|
9 |
92= 81 | ||
a2
|
81 |
82 + 12 = 65 | ||
a3
|
65 |
62 + 52 = 61 | ||
a4
|
61 |
62 + 12 = 37 | ||
a5
|
37 |
32 + 72 = 58 | ||
a6
|
58 |
52 + 82 = 89 | ||
a7 |
89 |
82 + 92 = 145 | ||
a8 |
145 |
12 + 42 + 52 = 42 | ||
a9 |
42 |
42 + 22 = 20 | ||
a10 |
20 |
22 + 02 = 4 | ||
a11 |
4 |
42 = 16 | ||
a12 |
16 |
12 + 62 = 37 | ||
a13 |
37 |
este termo já ocorreu como "a5" |
Verifique que um número não feliz vai conter, ciclicamente, os termos em seqüência (4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20) a partir de um determinado termo.