Matematicamente, um Quadrado Mágico Elementar é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) de ordem n (n linhas e n colunas) cujos elementos (números naturais) variam sucessivamente de 1 até n2 que são arrumados de modo que a soma de cada linha, cada umas das duas diagonais principais ou de cada coluna seja sempre uma constante.
Podem-se construir Quadrados Mágicos não elementares iniciando-se a partir de outro número natural que não o 1. Por exemplo, iniciar-se a partir do 12.
Para resolver problemas de Quadrados Mágicos não elementares basta construir um Quadrado Mágico elementar - depois disso somar elemento por elemento a diferença entre o menor valor do Quadrado Mágico pretendido com 1.
Um exemplo de Quadrado Mágico Elementar 4x4 é:
34 // |
|||||
16 |
3 |
2 |
13 |
= 34 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
= 34 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
= 34 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
= 34 |
|
|| 34 |
|| 34 |
|| 34 |
|| |
\\ |
. diagonal principal
. diagonal secundária
Digamos que alguém queira construir um Quadrado Mágico 4x4 dispondo elementos de 12 até 28. Para isto basta usar o Quadrado Mágico Elementar 4x4 acima e adicionar 11 (a diferença entre 12 e 1) a todos os seus elementos já disponíveis.
82 // |
|||||
16+12 |
3+12 |
2+12 |
13+12 |
= 82 |
|
5+12 |
10+12 |
11+12 |
8+12 |
= 82 |
|
9+12 |
6+12 |
7+12 |
12+12 |
= 82 |
|
4+12 |
15+12 |
14+12 |
1+12 |
= 82 |
|
|| 82 |
|| 82 |
|| 82 |
|| |
\\ |
Cardicas:
- Em todo Quadrado Mágico Elementar do tipo n x n o resultado constante das somas de cada linha, cada coluna ou de cada diagonal é sempre (1/2)(n)(n2 + 1).
- Se todos os elementos de um Quadrado Mágico Elementar forem acrescidos cada um de um mesmo número natural qualquer, será formado outro Quadrado Mágico.
Outros exemplos:
3 x 3
6 |
1 |
8 |
7 |
5 |
3 |
2 |
9 |
4 |
5 x 5
15 |
8 |
1 |
24 |
17 |
16 |
14 |
7 |
5 |
23 |
22 |
20 |
13 |
6 |
4 |
3 |
21 |
19 |
12 |
10 |
9 |
2 |
25 |
18 |
11 |
6 x 6
6 |
32 |
3 |
34 |
35 |
1 |
7 |
11 |
27 |
28 |
8 |
30 |
19 |
14 |
16 |
15 |
23 |
24 |
18 |
20 |
22 |
21 |
17 |
13 |
25 |
29 |
10 |
9 |
26 |
12 |
36 |
5 |
33 |
4 |
2 |
31 |
7 x 7
22 |
47 |
16 |
41 |
10 |
35 |
4 |
5 |
23 |
48 |
17 |
42 |
11 |
29 |
30 |
6 |
24 |
49 |
18 |
36 |
12 |
13 |
31 |
7 |
25 |
43 |
19 |
37 |
38 |
14 |
32 |
1 |
26 |
44 |
20 |
21 |
39 |
8 |
33 |
2 |
27 |
45 |
46 |
15 |
40 |
9 |
34 |
3 |
28 |
8 x 8
8 |
58 |
59 |
5 |
4 |
62 |
63 |
1 |
49 |
15 |
14 |
52 |
53 |
11 |
10 |
56 |
41 |
23 |
22 |
44 |
45 |
19 |
18 |
48 |
32 |
34 |
35 |
29 |
28 |
38 |
39 |
25 |
40 |
26 |
27 |
37 |
36 |
30 |
31 |
33 |
17 |
47 |
46 |
20 |
21 |
43 |
42 |
24 |
9 |
55 |
54 |
12 |
13 |
51 |
50 |
16 |
64 |
2 |
3 |
61 |
60 |
6 |
7 |
5 |
9 x 9
37 |
78 |
29 |
70 |
21 |
62 |
13 |
54 |
5 |
6 |
38 |
79 |
30 |
71 |
22 |
63 |
14 |
46 |
47 |
7 |
39 |
80 |
31 |
72 |
23 |
55 |
15 |
16 |
48 |
8 |
40 |
81 |
32 |
64 |
24 |
56 |
57 |
17 |
49 |
9 |
41 |
73 |
33 |
65 |
25 |
26 |
58 |
18 |
50 |
1 |
42 |
74 |
34 |
66 |
67 |
27 |
59 |
10 |
51 |
2 |
43 |
75 |
35 |
36 |
68 |
19 |
60 |
11 |
52 |
3 |
44 |
76 |
77 |
28 |
69 |
20 |
61 |
12 |
53 |
4 |
45 |