Matematicamente, um Quadrado Mágico Elementar é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) de ordem n (n linhas e n colunas) cujos elementos (números naturais) variam sucessivamente de 1 até n² que são arrumados de modo que a soma de cada linha, cada umas das duas diagonais principais ou de cada coluna seja sempre uma constante.

Podem-se construir Quadrados Mágicos não elementares iniciando-se a partir de outro número natural que não o 1. Por exemplo, iniciar-se a partir do 12.

Para resolver problemas de Quadrados Mágicos não elementares basta construir um Quadrado Mágico elementar - depois disso somar elemento por elemento a diferença entre o menor valor do Quadrado Mágico pretendido com 1.

Um exemplo de Quadrado Mágico Elementar 4x4 é:

					34 //
	16	3	2	13	= 34
	5	10	11	8	= 34
	9	6	7	12	= 34
	4	15	14	1	= 34
	|| 34	|| 34	|| 34	|| 34	\\ 34

. diagonal principal

. diagonal secundária

Digamos que alguém queira construir um Quadrado Mágico 4x4 dispondo elementos de 12 até 28. Para isto basta usar o Quadrado Mágico Elementar 4x4 acima e adicionar 11 (a diferença entre 12 e 1) a todos os seus elementos já disponíveis.

					82 //
	16+12	3+12	2+12	13+12	= 82
	5+12	10+12	11+12	8+12	= 82
	9+12	6+12	7+12	12+12	= 82
	4+12	15+12	14+12	1+12	= 82
	|| 82	|| 82	|| 82	|| 82	\\ 82

Cardicas:

1. Em todo Quadrado Mágico Elementar do tipo n x n o resultado constante das somas de cada linha, cada coluna ou de cada diagonal é sempre (1/2)(n)(n² + 1).
2. Se todos os elementos de um Quadrado Mágico Elementar forem acrescidos cada um de um mesmo número natural qualquer, será formado outro Quadrado Mágico.

 

Outros exemplos:

3 x 3

6	1	8
7	5	3
2	9	4

5 x 5

15	8	1	24	17
16	14	7	5	23
22	20	13	6	4
3	21	19	12	10
9	2	25	18	11

6 x 6

6	32	3	34	35	1
7	11	27	28	8	30
19	14	16	15	23	24
18	20	22	21	17	13
25	29	10	9	26	12
36	5	33	4	2	31

7 x 7

22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

8 x 8

8	58	59	5	4	62	63	1
49	15	14	52	53	11	10	56
41	23	22	44	45	19	18	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	30	31	33
17	47	46	20	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	50	16
64	2	3	61	60	6	7	5

9 x 9

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	30	71	22	63	14	46
47	7	39	80	31	72	23	55	15
16	48	8	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	18	50	1	42	74	34	66
67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45