Professor Cardy



Cardicas > Divisibilidade por 7

Já tratei de alguns critérios de divisibilidade em artigo passado, inclusive já tendo sido incluído um critério de divisibilidade por 7. No entanto, foi-me indicado um artigo muito interessante, pelo seu próprio autor, Gustavo Gerald Toja Frachia (IME-USP) acerca do mesmo tema.

Um critério de divisibilidade tem por objetivo identificar se um número natural é divisível por outro número natural sem realmente fazer a divisão de um pelo outro.


Cardica

Se Dd são números naturais. Diz-se que D (dividendo) é divisível por d (divisor) se existe um número natural q (quociente) tal que dq = D. Podemos também dizer D que é múltiplo de d.


Temos a seguir a adaptação feita por mim do que Toja instrui em sua página sobre a divisibilidade por 7. Tem-se o critério explicado como regra prática. A justificação está na página original http://www.divisibilitybyseven.mat.br.

Regra prática

Deseja-se verificar se um número N é divisível por 7.

Devem ser feitas as passagens 1, 2, 3, 4 e 5 para se obter o número M. Na etapa 6: se M for múltiplo de 7, então N é divisível por 7; caso contrário, se M não for múltiplo de 7, então N não é divisível por 7.

Caso o número M não seja evidente (para quem aplica o critério) em ser ou não ser múltiplo de 7, repetem-se as passagens de 1 a 5 tantas vezes quanto forem necessárias para o reconhecimento devido na etapa 6.

Etapas

1. Separa-se o número N em duplas de algarismos, da direita para esquerda. Por exemplo, o número 10.976 é separado em 3 duplas como segue:

1
09
76
(1)
(2)
(3)

2. Indica-se para cada uma das duplas em posições ímpares o menor múltiplo de 7 que está além do valor da dupla.

A Indicação é feita acima de cada dupla, por uma conveniência operacional posterior.

7
77
1
09
76
(1)
(2)
(3)

3. Indica-se para cada uma das duplas em posições pares o maior múltiplo de 7 que está aquém do valor da dupla.

A Indicação é feita abaixo de cada dupla, por uma conveniência operacional posterior.

7
77
1
09
76
7
(1)
(2)
(3)

4. Obtemos a DIFERENÇA entre os múltiplos apresentados com as duplas já designadas A subtração é de um número por aquele que estiver logo abaixo:

7
77
1
09
76
7
7 - 1 =
9 - 7 =
77 - 76 =

6

2
1
(1)
(2)
(3)

4. Escrevem-se os resultados de cada DIFERENÇA invertendo-se as posições que ocupam. Ou seja, as posições enumeradas em ordem crescente (1), (2) e (3) para enumeração decrescente (3), (2) e (1).

1
2
6
(3)
(2)
(1)

5. Após as etapas 1, 2, 3 e 4 obtem-se o número 126.

6. Como 126 é múltiplo de 7, então 10.976 é divisível por 7.

 

Observação

Vou chamar de Grade de Toja a seguinte estrutura:

7
77
1
09
76
7
6
2
1
(1)
(2)
(3)

Que indica que 10.976 é divisível por 7 porque 126 é múltiplo de 7.

 

Exemplo
   
 

31.112.525 é divisível por 7?

Apresentado a Grade de Toja para 31.112.525:

35
28
31
11
25
25
7
21
4
4
3
4
(1)
(2)
(3)
(4)

Sendo razoável que um leitor comum não saiba que 4.344 é (ou não) um múltiplo de 7, aplico a Grade de Toja para este:

49
43
44
42
6
2
(1)
(2)

 

O número 26 NÃO É MÚLTIPLO DE 7, portanto 31.112.525 NÃO É DIVISÍVEL POR 7.

Gustavo Gerald Toja Frachia é Mestre pelo IME-USP ( gtojafrachia@aol.com )