Função Condicional. Função definida por partes

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Cardicas > Função definida por partes

Digamos que você tenha que colocar açúcar num copo de suco e não tem certeza ainda quanto líquido poderá dispor. Pensa rapidamente... "Se tiver suco para completar o copo, colocarei duas colheres de açúcar; mas se só tiver até meio copo, colocarei apenas uma colher..."

A sua tarefa "colocar açúcar" está condicionada a quantidade de líquido disponível. Apesar da variável "quantidade de açúcar" ser a mesma para as duas situações ela também está condicinada, no caso, ao suco disponível.

Temos problemas que não basta só saber "o que fazer" (FUNÇÃO) e "com que fazer" (VARIÁVEL) mas também "a condição permitente" (CONDIÇÃO) . Tratando-se, portanto, de funções, não basta saber se ela está ou não em função de algumas variáveis mas também saber se há condições impostas para as mesmas variáveis. Afinal, temos que saber se é cabível fazer do mesmo modo a mesma tarefa. Um exemplo a seguir:

Exemplo

Uma pessoa ganha 5 reais para cada hora trabalhada num dia de jornada máxima de 12 horas. Caso a pessoa trabalhe até ( e inclusive) 2 horas não ganha ajuda de transporte no valor de R$ 10,00 e, caso contrário, ganha a ajuda.

Se x representa "hora trabalhada" e a jornada só pode variar até 12 horas, tem-se que x é uma variável NATURAL que vai até 12 (inclusive) — estou assumindo arbitrariamente que x é um número natual para representar HORAS sem considerar valores intermediários.

Chamemos a função "receber dinheiro" por f e f depende das horas trabalhadas, assim f(x) é a lei que associará x a sua imagem f(x). Assim, f : {0, 1, 2, ..., 12} — IR.

Entretanto, a lei da função está condicionada a quanto a pessoa trabalhou no dia porque com isso ganhará ou não a ajuda de transporte. Para isso, a lei da função será escrita como:

f(x) =	5x	se x < 2 ou x = 2	condição I
f(x) =	5x + 10	se 2 < x < 12 ou x = 12	condição II

Para sabermos quanto o empregado receberá por x horas, vemos a condição em que se aplica tal valor e usamos a lei especificada para x. Exemplos

O empregado trabalhou 8 horas. Na condição II temos que f(8) = 5·8 + 10 = 50. Receberá R$ 50,00.

O empregado trabalhou 1 hora. Na condição I temos que f(1) = 5·1 = 5. Receberá R$ 5,00.

Cuidado! Para um valor de x não pertinente ao domínio {0, 1, 2, 3, ... , 12} a função f(x) não é definida. Por exemplo, f(13) não se definiu ... não existe f(13).

Exemplo

Você pede para alguém comprar refrigerante na padaria. Avisa que se a lata custar até R$1,00 é para comprar 10 latas; se custar entre R$1,00 e R$1,50 é para comprar 6 latas e se custar mais de R$ 2,00 é para comprar somente duas latas.

As palavras "até", "entre" , "desde", "a partir de" , "menor do que" ou "maior do que" são perigosas e exigem cautela para a interpretação de quem são os extremos.

Sucintamente, exemplos:

até 5	x < 5 ou x = 5
entre 5 e 10	5 < x < 10
vai de 5 até 10	x = 5 ou 5 < x < 10 ou x = 10
desde 5 (a partir de 5)	x = 5 ou x > 5
maior do que 5	x > 5
menor do que 5	x < 5

No problema, a compra C está em função de x (preço da lata) e também nas condições pertinentes sobre x.

	10x	se x < 1 ou x = 1	condição I
C(x) =	6x	se 1 < x < 1,5	condição II
	2x	se x > 1,5	condição III

Exemplos

A lata custa R$0,90 . Na condição I temos que f(0,9) = 10 ·0,9 = 9. Comprará 10 latas e pagará R$ 9,00.

A lata custa R$1,20 . Na condição II temos que f(1,2) = 6 ·1,2 = 7,2. Comprará 6 latas e pagará R$ 7,20.

A lata custa R$1,50 . Pelo texto, não foi definida a função C para x = 1,5.

Quando uma função não for definida para um ou vários valores NUNCA assuma que a função DEVERIA assumir este ou aquele resultado. Ao reconhecer que não se pode usar um particular m, simplesmente diga "não existe f(m)". Assim se m não pertence ao domínio de f implica que não existe f(m).

Temos muitos casos em que não se pode mesmo usar um certo m numa função. Pode ser uma dose perigosa para um paciente num tratamento; pode ser uma velocidade crítica para um veículo; pode ferir uma condição de existência; pode ser um dia de balanço comercial e tantos outros exemplos!

Respeite sempre: